Natalia a debutat în handbal în anul 2011. Este de cinci ori campioană și o data vicecampioană națională în Ucraina. A câștigat de trei ori Cupa Ucrainei, de patru ori Super Cupa Ucrainei și de două ori Baltic League, trecându-și totodată în palmares și medalia de bronz în Baltic League.
A jucat 14 partide în Cupa EHF, în cadrul cărora a marcat nu mai puțin de 52 de goluri. Este de două ori semifinalistă în Challenge Cup (14 meciuri – 23 de goluri). În campionatul Ucrainei a marcat peste 350 de goluri, doar în sezonul trecut înscriind de 92 de ori în 26 de partide.
De remarcat e că Natalia Savchyn a câștigat în anul 2013 Campionatul European între echipele naționale ale studenților, competiție desfășurată în Polonia; Turchin Cup în 2016, fiind medaliată cu argint a aceleiași competiții în 2018; medaliată cu argint la un turneu amical desfășurat în 2017 în Melilla – Spania și ocupantă a locului 7 la Campionatul mondial al echipelor naționale studențești (2015, Coreea de Sud).
A debutat în 2015 la echipa naționala de senioare a Ucrainei.
Părăsește pentru prima data țara natală, pentru a juca în România, la CS Gloria 2018 Bistrița Năsăud. S-a transferat la echipa de suflet a bistrițenilor de la Galytchanka Lviv (Ucraina).